Распределение Пуассона в футболе: почему счёт предсказуем

Распределение Пуассона — это формула, которая по одному числу, среднему количеству голов, выдаёт вероятность любого счёта. Именно она спрятана внутри большинства футбольных моделей прогноза: от академических работ восьмидесятых до современных сервисов. Звучит подозрительно просто, поэтому мы устроили формуле очную ставку с реальностью — взяли 12 636 матчей пятнадцати турниров за сезоны 2023–2025 из нашей базы и проверили, совпадают ли предсказанные частоты числа голов с реальными.

Спойлер: максимальное расхождение — 0,5 процентного пункта. Ниже — откуда такая точность берётся, как из одной формулы вырастает целый прогноз, кто придумал применять её к футболу и где у метода честные пределы.

Почему голы подчиняются Пуассону

В учебниках теории вероятностей у этого распределения репутация «закона редких событий». Классические примеры — опечатки на странице, звонки на телефонную станцию за час, поломки станков за смену. Общее у них одно: событие складывается из огромного числа независимых попыток, каждая из которых почти всегда заканчивается ничем. Самая знаменитая иллюстрация — из конца XIX века: статистик Ладислаус фон Борткевич показал, что даже число смертей от удара копыта в корпусах прусской кавалерии год за годом ложится на пуассоновскую кривую. Голы встали в этот ряд век спустя — и по той же причине.

Футбольный матч устроен так же. Девяносто минут — это десятки атак, стандартов и дальних ударов, и почти все они умирают без гола: в среднем за игру обе команды вместе забивают 2,76 мяча — цифра по всем 12 636 матчам нашей базы. Много попыток, у каждой маленький шанс, попытки в первом приближении не зависят друг от друга. Ровно те условия, под которые формула выведена.

Полезен и обратный пример — баскетбол. Результативная атака там не редкость, а норма, счёт складывается из десятков успешных владений, и Пуассон уступает место другим инструментам. Чем реже событие, тем честнее работает формула; футбол с его горсткой голов за девяносто минут подходит почти идеально.

Из этого следует неожиданно сильное утверждение. Чтобы описать вероятности всех вариантов результативности матча, не нужно знать ни составы, ни тактику, ни мотивацию — достаточно одного параметра, среднего числа голов. Всё остальное формула достроит сама. Проверим, насколько нагло это звучит и насколько хорошо работает.

Формула на пальцах

Записывается она в одну строку: P(k) = λ^k · e^(−λ) / k! Здесь λ — то самое среднее число голов, k — количество голов, вероятность которого мы ищем, e — основание натурального логарифма, а факториал в знаменателе — произведение чисел от единицы до k. Подставляем k = 0, 1, 2… и получаем вероятность каждого исхода.

Возьмём λ = 2,76 — среднюю результативность нашей базы — и посчитаем:

Читается таблица так: примерно каждый шестнадцатый матч закончится нулевой ничьей, самый частый тотал — два гола, а хвост «четыре и больше» толще, чем кажется по ощущениям, — почти три матча из десяти. Заметьте: мы ещё ни разу не заглянули в реальные протоколы, это чистая математика из одного числа.

Теория против 12 636 матчей

Теперь главный эксперимент статьи. Реальные доли считаются из нашей базы простыми разностями: матчей хотя бы с одним голом — 93,2%, хотя бы с двумя — 75,7%, значит, ровно один гол случился в 93,2 − 75,7 = 17,5% игр. И так по каждой строке. Сравниваем с теоретическим столбцом:

Формула, выведенная за полтора с лишним века до появления xG, с одним-единственным входным числом описывает результативность двенадцати с половиной тысяч матчей с точностью до половины процентного пункта. Две строки совпали вообще без зазора. Вот почему счёт в футболе предсказуем — не в смысле «мы знаем, чем кончится матч», а в смысле «мы знаем частоты, с которыми заканчиваются тысячи матчей».

Одна деталь в таблице заслуживает отдельного взгляда. Самое большое расхождение — на матчах без голов: в реальности их 6,8%, а теория обещает 6,3%. Излишек крошечный, но систематический, и он не случаен. Запомните его — через два раздела он станет целой научной статьёй.

От тотала матча к точному счёту

Пока мы предсказывали только общее число голов. Прогнозу нужно больше: кто забьёт и кому. Шаг очевидный — вместо одного λ на матч берём два, по одному на команду. В среднем по нашей базе хозяева забивают 1,54 гола за игру, гости — 1,22; в сумме те же 2,76, но перевес хозяев уже виден.

Дальше строим распределение Пуассона отдельно для каждой стороны и перемножаем: вероятность счёта 2:1 — это вероятность «хозяева забили дважды», умноженная на вероятность «гости забили один раз». Так получается матрица всех счетов — от 0:0 до самых экзотических, — и сумма её ячеек равна единице. Любой рынок дальше складывается из ячеек: победа хозяев — сумма всего под диагональю, тотал больше 2,5 — сумма ячеек, где голов минимум три, «обе забьют» — всё, кроме первой строки и первого столбца. Как эта матрица встроена в полный прогноз, мы разбирали в статье про математические прогнозы.

Средние по лиге хороши для демонстрации, но прогнозу конкретного матча их мало. У реальной пары соперников ожидания свои: лидер дома против аутсайдера — это не 1,54 против 1,22. Откуда модель берёт ожидаемые голы конкретной пары — отдельная задача, и решает её оценка силы команд, например рейтинг Эло.

Маэр и Диксон–Коулс: сорок с лишним лет одной идее

Первую цельную модель футбольного счёта на Пуассоне построил английский статистик Майкл Маэр. В работе 1982 года «Modelling association football scores» он описал голы двух команд независимыми распределениями, где λ каждой стороны складывается из силы атаки, силы обороны соперника и домашнего преимущества. Модель хорошо описала сезонные данные английских дивизионов, но Маэр честно зафиксировал и слабое место: низовые ничьи — 0:0 и 1:1 — встречались чаще, чем предсказывала независимость.

Пятнадцать лет спустя Марк Диксон и Стюарт Коулс закрыли эту дыру. Их статья 1997 года предложила точечную поправку, которая сдвигает вероятности только четырёх ячеек матрицы — 0:0, 1:0, 0:1 и 1:1, — не трогая остальные, плюс взвешивание истории: недавние игры получают больший вес, чем давние. Тот самый излишек нулевых ничьих из нашей таблицы — ровно то, что они чинили. Показательно и второе: авторы продемонстрировали, что модель находила расхождения с букмекерскими линиями девяностых. Связка Пуассона с поправкой Диксона–Коулса с тех пор — скелет почти каждой счётной модели, включая открытую методологию клубных прогнозов FiveThirtyEight.

Пуассон в ставках: зачем формула игроку

Беттинг-применение метода держится на одном сравнении. Коэффициент — это перевёрнутая вероятность: поделите единицу на кэф и получите оценку события букмекером. Модель Пуассона строит собственную вероятность того же события, и если она заметно выше той, что подразумевает линия, у ставки положительное математическое ожидание. Такие расхождения называют валуем, и их поиск — единственный системный способ работать с прогнозами; всё остальное — угадывание.

Самодельные расчёты полезно сверять с большими выборками. По нашей базе — тем же 12 636 матчам — тотал больше 2,5 пробивается в 51,9% игр, обе команды забивают в 51,7%; честные коэффициенты на такие события чуть ниже двух. Если ваша табличка в экселе выдаёт для среднего матча что-то радикально иное, ошибка почти наверняка в λ, а не в футболе.

Два предупреждения напоследок. В любую линию вшита маржа, поэтому обыгрывать приходится не вероятность, а вероятность с наценкой — и наценка съедает большую часть найденных расхождений. А дистанция, на которой валуй превращается в плюс, измеряется сотнями ставок: на отрезке в десяток событий даже правильная модель легко уходит в минус.

Чего Пуассон не видит

Первое допущение, которое в футболе нарушается, — независимость голов внутри матча. Счёт меняет игру: ведущая команда садится глубже, проигрывающая раскрывается, удаление ломает интенсивность обеих сторон. Гол — не звонок на телефонную станцию, после него матч уже другой. На больших выборках эти эффекты почти взаимно гасятся — потому наша таблица и сошлась, — но в отдельном матче отклонения бывают заметными.

Второе — сама λ. Формула безупречно превращает среднее в вероятности, но среднее надо ещё угадать. У каждой пары соперников оно своё, и разброс огромный даже между турнирами:

Между Бундеслигой и Первой лигой — почти гол за матч. Ошибётесь с λ — получите идеально красивое распределение вокруг неверного центра; главная работа модели происходит до Пуассона, а не внутри него.

Третье коварнее. Усреднённое λ не заменяет знание конкретной пары. Если посчитать «обе забьют» напрямую из средних 1,54 и 1,22, получится 55,4% — а реальная частота по базе 51,7%. Разница берётся не из ошибки формулы: матчи разные, и смесь осторожных игр с перестрелками ведёт себя не так, как один «средний» матч. Плоское среднее систематически недооценивает крайности — ещё один довод считать силу каждой команды отдельно, а не подставлять общие цифры лиги.

И, наконец, за кадром остаётся всё, чего нет в числах: мотивация в последнем туре, кубковая ротация, состояние поля. Часть этого просачивается в оценку силы через результаты и xG, но не всё и не сразу.

Как это используется в ГолПульс

Наша модель проходит ровно описанный путь: оценка силы команд через Эло-рейтинг с учётом xG даёт ожидаемые голы пары, из них строится матрица Пуассона с поправкой Диксона–Коулса, а из матрицы — вероятности исходов, тоталов, «обе забьют» и точных счетов на карточках матчей. Внутренние параметры мы держим при себе, зато вся выдача модели открыта: методика описана на странице как это работает, а попадания и промахи каждого боевого прогноза лежат в трек-рекорде.

Идее Маэра больше сорока лет, и жива она не потому, что футбол не изменился, а потому, что не изменилась природа гола: редкое событие на фоне множества попыток. Пока это так, у счёта есть математика. Другие разборы методов — от Эло до xG — собраны в рубрике «Методы и модель».